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向量教学中两种思维的渗透

[作者:杨斌[来源：互联网]| 打印 | 关闭 ]
　　问题2：设 ， 为单位向量，非零向量 =x +y ，xy∈R，若 ， 的夹角为 ，则 的最大值等于？摇 ？摇？摇？摇. 
　　分析：该题考查了对于平面向量的基本概念的综合运用，涵盖了单位向量、平面向量的基本定理、夹角、向量的模等反应向量特点的概念和定理.最值问题求解，体现了静中有动，题目简约而不简单. 
　　图形化：不妨设x≠0，由 =x +y ，x，y∈R = + ，∴| |=| + |（ ∈R），结合平行四边形法则，| | = （垂直时），所以 的最大值为2. 
　　说明：利用图形化，掌握图形变化的本质，结合数形结合，直观而简洁. 
　　代数化： =| | =（x +y ） =x +y + xy， 
　　说明：代数法手段是从函数入手，通过相关运算得到一个两元函数，然后换元转换为一元函数求解最值. 
　　问题3：设向量 ， ， 满足| |=| |=1， · =- ，< - ， - >60°，则| |的最大值等于？摇？摇 ？摇？摇. 
　　图形化：向量 ， 满足夹角120°，且 - 与 - 夹角是60°，以四点共圆建构图形.设 = ， = ， = ，则CB= - ， = - ，∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知点C的轨迹是优弧 上一动点，显然当点C为优弧 中点时，| |=| |取到最大值，即为O，A，B，C四点所在圆直径.易得| |=| - |= ，在△ABC中，由正弦定理：2R= = =2. 
　　代数化：可以从< - ， - ≥60°及数量积出发，利用不等关系及均值不等式求| |的最值.由题意| + |= =1，由（ - ）·（ - ）= · -（ + ）· +| |， 
　　又（ - ）·（ - ）= | - |·| - |≤ [（ - ） +（ - ） +（ - ）]= [1-（ + ）· +| | ]， 
　　结合上述两式： · -（ + ）· +| |≤ [1-（ + ）· +| | ]， 
　　化简得：| | ≤2+（ + ）· ≤2+| + |·| |=2+| |，得：| | -| |-2≤0？圯| |≤2，即最大模长为2. 
　　本题的代数方法独树一帜，既要考虑一般性展开，又要利用数量积公式，再利用不等式进行放缩求得.笔者认为平时教学要多考虑“代数化”，有利于学生解题方向感的培养. 
　　从上述三个问题可以看出，向量问题一般均可以从两个思维角度入手考虑，笔者对上述问题常常采用图形化和代数法的思维角度教学，不断通过教学引导学生向量问题的两种解决思路，这是培养中学数学向量问题解决的两个重要导向.通过问题我们可以感受到，向量代数法的思维方式主要是以运算来解决的，侧重少思考多运算，图形化的思维方式偏重于思考、轻运算，教学时应以学生学情因材施教、两法并举，让学生在薄弱环节得到提升，从而实现向量教学的高效性.值得注意的是，向量教学两种思维方式的培养要循序渐进，笔者建议是以代数化为主的方式比较适合初学者，图形化思维方式更适应高三复习教学，这样安排教学是为了适应新课程螺旋式上升的教学理念，让思维发展有一个循序渐进的过程.两种思维渗透，更有利于学生思维发散性的培养. 
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