例谈数学解题中的模型构造

　　摘 要： 数学解题中有很多问题具备模型特征，即所谓模式识别.解题正是将陌生情境下的问题不断转化为熟悉背景而解决，这需要教学对数学模型的不断归纳和更新. 
　　关键词： 数学解题 模型 模式识别 转化化归 
　　根据问题的条件和结论、性质和特征，构造出某种模型，通过对模型的解释和研究，实现问题的解决.这是数学中的常用思想方法，它对人们进一步认识数学知识的内在规律和联系，提高抽象概括能力，都大有裨益.数学中的这种模型构造解决问题方式，一般称之为模式识别.模式识别是数学教学中很常见的一种方式，其优点将与相关知识点联系的问题、变式、可能考查方向均一一进行了识别，可以提高学生对于单一知识点、整合知识考查的理解力，使学习更简洁和高效. 
　　1.构造方程模型 
　　方程是解数学问题的一个重要工具，许多数学问题可以根据其数量关系，在已知和未知之间搭建方程的桥梁，通过建立数量关系的方程，将问题轻松地解决.方程思想贯穿于高中数学教学的始终，如何利用好方程模型是函数等章节教学的关键. 
　　例1：已知： =1，求证：b ≥4ac. 
　　分析：考虑问题的结论，很自然由b 、4ac容易联想到方程的判别式，因此不妨由已知条件提供的一个等式，把它转化为方程，则结论便成为方程性质的讨论.考虑到b ≥4ac，因此构建的方程应该是存在实根的方程，因此可以设法构造一个二次方程. 
　　解析：已知等式可化为 b-2c=a，在等式两边同除以2可得： - b+c=0，我们可以把它看成a（- ）+b（- ）=0，这表明二次方程ax +bx+c=0有实根x=- ，从而判别式非负，得b ≥4ac. 
　　2.构造平面模型 
　　根据题目提供的信息，构造出符合题设或结论的图形，如三角形、正方形、曲多边形，借助于图形，化代数条件为长度、面积等几何结论，模型构造中常用到诸如勾股定理、正余弦定理、边角关系等. 
　　例2：若p∈R，|log p|<2时，不等式px+1>2x恒成立，求x取值范围. 
　　分析：由|log p|<2可得： 　　，所以使不等式px+1>2x恒成立的x取值范围为- 　　例3：若a，b，c均是小于1的正数，求证： 
　　+ + + ≥2 
　　分析：从题型上看这是个纯代数题.但用代数法证非常难.如果把左边的式子用几何意义来理解，可以看做是直角三角形的斜边，按如图2构造一个正方形，并按图划分为四个矩形.显然OD= ，OC= ，AO= ，OB= ，可知：AO+OC+OD+OB&g